O Paradoxo de Monty Hall

Bem-vindo ao nosso programa de auditório! Atrás de uma destas três portas existe um Carro Esporte (🚗). Atrás das outras duas, há apenas Cabras (🐐).

A Regra: Primeiro, você escolhe uma porta. Em seguida, eu (o apresentador que sabe onde o carro está) abrirei uma das outras duas portas mostrando uma cabra. Então, te farei a pergunta decisiva: Você quer manter a sua porta ou trocar?

Fase 1: Escolha a sua porta da sorte!
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Eu abri uma porta com uma cabra! O que você quer fazer agora?

Estratégia: MANTER

Vitórias: 0
Derrotas: 0
Taxa de Acerto: 0%

Estratégia: TROCAR

Vitórias: 0
Derrotas: 0
Taxa de Acerto: 0%

Probabilidade Condicional e Bayes

O cérebro humano é péssimo em probabilidade condicional. Quando sobram apenas duas portas, a intuição nos diz que a chance é de 50% para cada uma. Mas a probabilidade diz o contrário: Trocar de porta DOBRA a sua chance de ganhar! (Sobe de 33,3% para 66,6%).

Por que isso acontece?

No início do jogo, a chance de você ter escolhido a porta certa é de \(1/3\), o que significa que a chance de o carro estar nas outras duas portas juntas é de \(2/3\).

Quando o apresentador (que sabe onde está o carro) é forçado a abrir uma porta revelando uma cabra, ele não abre uma porta de forma aleatória. Essa ação de "filtragem" faz com que todos os \(2/3\) de probabilidade sejam transferidos diretamente para a única porta fechada que restou.

O Teorema de Bayes

Na teoria das probabilidades, explicamos isso com o Teorema de Bayes, que calcula a probabilidade de um evento acontecer sabendo que outro já ocorreu:

\[ P(C \mid A) = \frac{P(A \mid C) \cdot P(C)}{P(A)} \]

Onde:

  • \(P(C)\) é a probabilidade do carro estar na outra porta inicialmente (1/3).
  • \(P(A \mid C)\) é a probabilidade de o apresentador abrir a porta vazia dado que o carro está na outra porta (que é 100% ou 1, pois ele é forçado a desviar do carro).
  • \(P(A)\) é a probabilidade total do apresentador abrir aquela porta específica (1/2).

Substituindo na fórmula, a probabilidade da porta restante estar com o prêmio passa a ser:

\[ \frac{1 \cdot (1/3)}{1/2} = \frac{2}{3} \]

Ou seja, 66,6%! Jogue várias vezes e veja o painel de estatísticas provar a matemática na vida real.